Question

18．如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點(diǎn)．
（Ⅰ）若弧$\widehat{BC}$的中點(diǎn)為D，求證：AC∥平面POD
（Ⅱ）如果△PAB面積是9，求此圓錐的表面積與體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB是底面圓的直徑，可得AC⊥BC．再由$\widehat{BC}$的中點(diǎn)為D，可得OD⊥BC．則AC∥OD．由線面平行的判定可得AC∥平面POD；
（Ⅱ）設(shè)圓錐底面圓半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，由題意可得h=r，l=$\sqrt{2}r$，由△PAB面積是9求得r=3，代入圓錐表面積公式與體積公式求解．

解答 （Ⅰ）證明：∵AB是底面圓的直徑，∴AC⊥BC．
∵$\widehat{BC}$的中點(diǎn)為D，∴OD⊥BC．
又AC、OD共面，∴AC∥OD．
又AC?平面POD，OD?平面POD，
∴AC∥平面POD；
（Ⅱ）解：設(shè)圓錐底面圓半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l，
∵圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，∴h=r，l=$\sqrt{2}r$，
由${S}_{△ABP}=\frac{1}{2}×2r×h={r}^{2}=9$，得r=3，
∴${S}_{表面積}=πrl+π{r}^{2}=πr×\sqrt{2}r+π{r}^{2}=9（1+\sqrt{2}）π$，
$V=\frac{1}{3}π{r}^{2}h=9π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，考查圓錐表面積與體積的求法，考查空間想象能力，是中檔題．