Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+1．x≤0}\\{1，x＞0}\end{array}\right.$，試求滿足f（1-x²）＞f（-2x）的x的集合．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)值的大小比較，利用分類討論進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∵1-x²≤1，
∴若1-x²＞0，即-1＜x＜1時(shí)，f（1-x²）=1，此時(shí)不等式不成立，
若x=1，不等式f（1-x²）＞f（-2x）等價(jià)為f（0）＞f（-2）不成立，
若x=-1，不等式f（1-x²）＞f（-2x）等價(jià)為f（0）＞f（2）不成立，
若x＞1，-2x＜-2，1-x²＜0，
此時(shí)不等式f（1-x²）＞f（-2x）等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{1-{x}^{2}＜-2x}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{{x}^{2}-2x-1＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x＞1+\sqrt{2}或x＜1-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，解得x＞1+$\sqrt{2}$，
若x＜-1，-2x＞2，1-x²＜0，
則f（-2x）=1，f（-x²）＞1，此時(shí)不等式f（1-x²）＞f（-2x）恒成立，
綜上x＜-1或x＞1+$\sqrt{2}$，
故不等式的解集為（1+$\sqrt{2}$，+∞）∪（-∞，-1）．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，利用分類討論是解決本題的關(guān)鍵．