Question

如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：|PM|+|PN|=6．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題意求出a，b，c的值，再代入到橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式中，可得到答案．
（2）先將轉(zhuǎn)化為|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|-2的形式，再由余弦定理得到|MN|²=|PM|²+|PN|²-2|PM|•|PN|cosMPN，二者聯(lián)立后再由點(diǎn)P在橢圓方程上可得到最后答案．
解答：解：（Ⅰ）由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6的橢圓．
因此半焦距c=2，長(zhǎng)半軸a=3，從而短半軸b=，
所以橢圓的方程為

（Ⅱ）由，得|PM|•|PN|cosMPN=|PM|•|PN|-2．①
因?yàn)閏osMPN≠1，P不為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故P、M、N構(gòu)成三角形．
在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|²=|PM|²+|PN|²-2|PM|•|PN|cosMPN．②
將①代入②，得4²=|PM|²+|PN|²-2（|PM|•|PN|-2）．
故點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線上．
由（Ⅰ）知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足，
所以由方程組解得
即P點(diǎn)坐標(biāo)為或
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、第二定義、準(zhǔn)線方程、a，b，c的基本關(guān)系等都是高考的考點(diǎn)，要熟練掌握．