Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數(shù)．
（1）當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）的有極值點(diǎn)，求b的取值范圍及f（x）的極值點(diǎn)；
（3）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

都成立．

Answer 1

（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)
∴當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng)b＞

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上無(wú)極值點(diǎn)．
②b=

1

2

時(shí)，f′(x)=

(2x-1)2

2x

=0有兩個(gè)相同的解x=

1

2

，但當(dāng)x∈(0，

1

2

)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(

1

2

，+∞)時(shí)，f′(x)＞0時(shí)，
∴b=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無(wú)極值點(diǎn)．
③當(dāng)b＜

1

2

時(shí)，f'（x）=0有兩個(gè)不同解，x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

∴（i）b≤0時(shí)，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉(0，+∞)，舍去，而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈(0，+∞)，
此時(shí)f'（x），f（x）隨x在定義域上的變化情況如表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：∵b≤0時(shí)，f（x）有惟一極小值點(diǎn)，x=

1

2

+

1-2b

2

，
（ii）當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，0＜x₁＜x₂＜1
此時(shí)，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值x1=

1

2

-

1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x2=

1

2

+

1-2b

2

；
綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)b＜

1

2

時(shí)f（x）有極值點(diǎn)；
當(dāng)b≤0時(shí)，f（x）有惟一最小值點(diǎn)，x=

1

2

+

1-2b

2

；
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)x=

1

2

-

1-2b

2

和一個(gè)極小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

（3）由（2）可知當(dāng)b=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=（x-1）²-lnx，
此時(shí)f（x）有惟一極小值點(diǎn)x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

且x∈(0，

1+ 3

2

)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)在(0，

1+ 3

2

)為減函數(shù) 

∵當(dāng)n≥3時(shí)，0＜1＜1+ 1 n ≤ 4 3 ＜ 1+ 3 2 ， ∴恒有f(1)＞f(1+ 1 n )，即恒有0＞ 1 n2 -ln(1+ 1 n ) ∴當(dāng)n≥3時(shí)恒有l(wèi)n(n+1)-lnn＞ 1 n2 成立

 
令函數(shù)h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

              

∴x＞1時(shí)，h′(x)＞0，又h(x)在x=1處連續(xù)∴x∈[1，+∞)時(shí)h(x)為增函數(shù) ∵n≥3時(shí)1＜1+ 1 n ∴h(1+ 1 n )＞h(1)即 1 n -ln(1+ 1 n )＞0 ∴l(xiāng)n(n+1)-lnn=ln(1+ 1 n )＜ 1 n 綜上述可知n≥3時(shí)恒有 1 n ＞ln(n+1)-lnn＞ 1 n2