Question

如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，且
（1）求橢圓的離心率；
（2）已知是過三點(diǎn)的圓上的點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)到直線距離的最大值。

Answer 1

（1）；（2）4.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，先通過對(duì)稱性得到B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式得的3個(gè)邊長，利用勾股定理列出關(guān)系式，化簡出離心率e的值；第二問，利用第一問知是邊長為a的正三角形，利用三角形面積，得到a的值，從而得到b和c的值，由于，所以圓是以為圓心，為半徑，則可直接寫出圓的方程，因?yàn)辄c(diǎn)p到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑，所以利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.
試題解析：（1）
由及勾股定理可知，即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a9/4/1x8iy3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，解得
（2）由（1）可知是邊長為的正三角形，所以
解得
由可知直角三角形的外接圓以為圓心，半徑
即點(diǎn)在圓上，
因?yàn)閳A心到直線的距離為
故該圓與直線相切，所以點(diǎn)到直線的最大距離為
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、勾股定理、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系.