Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a1=-2，an+1=-

2an+12

an+5

；bn=

1

an+3

，n∈N*．
（Ⅰ）求b₁，b₂及b_n；
（Ⅱ）求證：

n

k=1

1

bk

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由an+1=-

2an+12

an+5

求得a₂，再由bn=

1

an+3

可求得b₁，b₂，由bn=

1

an+3

可得b_n+1與b_n的遞推式，由該遞推式可構(gòu)造等比數(shù)列{b_n+1}，從而可求得b_n+1，進(jìn)而得到b_n；
（Ⅱ）由

1

bn

=

1

2n-1

，知n≥2時(shí)，

1

bn

=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

，據(jù)此對(duì)不等式進(jìn)行放縮可證明，注意檢驗(yàn)n=1時(shí)情形；

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=-2，∴a2=-

2a1+12

a1+5

=-

-4+12

-2+5

=-

8

3

，
∴b₁=

1

a1+3

=

1

-2+3

=1，b₂=

1

a2+3

=

1

- 8 3 +3

=3，
∵bn+1=

1

an+1+3

=

1

- 2an+12 an+5 +3

=

an+5

an+3

=1+

2

an+3

=2bn+1，
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
于是{b_n+1}是以b₁+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故bn+1=2×2n-1=2ⁿ，即bn=2n-1；
（Ⅱ）∵

1

bn

=

1

2n-1

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

bn

=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

，
∴

n

k=1

1

bk

＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1＜2；
n=1時(shí)，

1

b1

=1＜2成立，
∴

n

k=1

1

bk

＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列與不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解決（Ⅱ）問(wèn)的關(guān)鍵是利用放縮對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和．