Question

在平面直角坐標系中，點與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ； (Ⅱ)存在，點的坐標為

【解析】

試題分析：（I）解：因為點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，所以點B的坐標為（1，-1）

設點P的坐標為（x，y）

由題意得

化簡得

故動點P的軌跡方程為

（Ⅱ）解法一：設點P的坐標為，點的坐標分別為

則直線的方程式為，直線的方程式為

令得            6分

于是的面積 

             7分

又直線AB的方程為

點P到直線AB的距離                8分

于是的面積            9分

當時，得          10分

又，所以，解得         12分

因為，所以。              13分

故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為          14分

考點：軌跡方程是求法；直線與雙曲線的綜合應用。

點評：求軌跡方程的基本步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼�，設P（x，y）是軌跡上的任意一點；

②尋找動點P（x，y）所滿足的條件；③用坐標（x，y）表示條件，列出方程f（x，y）=0；④化簡方程f（x，y）=0為最簡形式；⑤證明所得方程即為所求的軌跡方程，注意驗證。