Question

已知定義在R上的函數f（x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x²-x，且對?x滿足f（x-1）=2f（x），則函數f（x）在區(qū)間[5，7]上的最大值是

 

．

Answer 1

考點：二次函數在閉區(qū)間上的最值,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：由題設條件，可先根據對任意的x滿足f（x-1）=2f（x）及當x∈[-1，1]時，f（x）=x²-x，解出函數f（x）在區(qū)間[5，7]上的解析式，再由所得的解析式根據二次函數的性質解出函數在區(qū)間[5，7]上的最大值即可求出答案．

解答： 解：由題意對任意的x滿足f（x-1）=2f（x）（常數M≠0），
∴任取x∈[5，7]，則f（x）=

f(x-1)

2

=…=

f(x-6)

26

，
此時有x-6∈[-1，1]，又定義在R上的函數f（x），當x∈[-1，1]時，f（x）=x²-x，
∴f（x）=

f(x-6)

26

=

(x-6)2-(x-6)

26

=

x2-13x+42

26

=

(x- 13 2 )2- 1 4

26

，
當x=5時，函數f（x）在區(qū)間[5，7]上取到最大值是

2

26

=

1

32

．

點評：本題考查二次函數的最值及函數恒成立的關系，解題的關鍵是由題設條件解出要求最值的區(qū)間上的函數解析式，從而研究函數的最值，本題考查了轉化的思想及最值的求法，二次函數的最值常用配方法求最值．