Question

4．已知f（x）=x²-2x-3，等差數(shù)列{a_n}中，a₁=f（x-1），a${\;}_{2}=-\frac{3}{2}$，a₃=f（x）
求：（1）x的值；
（2）通項a_n．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)所給的函數(shù)式f（x）=x²-2x-3，寫出數(shù)列的第二項和第三項，利用等差中項公式求解即可．
（2）根據(jù)等差數(shù)列特點求出x的值，求出公差，即可寫出通項公式．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x-3，
∴a₁=f（x-1）=（x-2）²-4，
a₃=（x-1）²-4．
又a₁+a₃=2a₂，a${\;}_{2}=-\frac{3}{2}$，解得x=0，或x=3．
（2）由（1）知a₁，a₂，a₃分別是0，-$\frac{3}{2}$，-3或-3，-$\frac{3}{2}$，0．
當a₁=0，a₂=-$\frac{3}{2}$，a₃=-3時，d=a₂-a₁=-$\frac{3}{2}$，
a_n=a₁+（n-1）d=-$\frac{3}{2}$（n-1）；
當a₁=-3，a₂=-$\frac{3}{2}$，a₃=0時，d=a₂-a₁=$\frac{3}{2}$，
a_n=a₁+（n-1）d=-3+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}$（n-3）．
∴a_n=-$\frac{3}{2}$（n-1）或a_n=$\frac{3}{2}$（n-3）．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．