Question

現(xiàn)要制作一個圓錐形的漏斗，其母線長為l，要使其體積最大，高應(yīng)為（　�。�

• A、

  1

  3

  l²
• B、

  3

  3

  l
• C、

  2

  3

  l
• D、

  1

  2

  l²

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）,基本不等式

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)圓錐形漏斗的高為h，我們可以表示出底面半徑r，進而得到圓錐體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)法，易得到體積取最大值時，高h(yuǎn)與母線l之間的關(guān)系．

解答： 解：設(shè)圓錐形漏斗的高為h，則圓錐的底面半徑為

l2-h2

，（0＜h＜l）
則圓錐的體積V=

1

3

•π（l²-h²）•h=-

π

3

h³+

πl(wèi)2

3

h
則V′=-πh²+

πl(wèi)2

3

，
令V′=0
則h=±

3

3

l
∵0＜h＜l
∴當(dāng)高h(yuǎn)=

3

3

l時，圓錐的體積取最大值，
故選：B

點評：本題考查的知識點是圓錐的體積，函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)法在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，其中設(shè)出漏斗的高為h，表示出底面半徑r，進而得到圓錐體積的表達(dá)式，建立函數(shù)數(shù)學(xué)模型是解答本題的關(guān)鍵．