Question

已知函數f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R．
（1）若f（0）≥2，求a的取值范圍；
（2）若-

1

2

≤a≤

1

2

，求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將x=0代入得：f（0）=|a|+1≥2，即|a|≥1，解得a的取值范圍；
（2）分當x≤a時和當x＞a時兩種情況，結合二次函數的圖象和性質，分別討論f（x）的最小值，最后綜合討論結果，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+|x-a|+1，
∴f（0）=|-a|+1=|a|+1≥2，
即|a|≥1，
解得a∈（-∞，-1]∪[1，+∞），
即a的取值范圍為（-∞，-1]∪[1，+∞），
（2）解：當x≤a時，f（x）=（x-

1

2

）²+a+

3

4

．
∵a≤

1

2

，函數f（x）在（-∞，a]上單調遞減．
從而函數f（x）在（-∞，a]上的最小值為f（a）=a²+1；
當x＞a時，函數f（x）=（x+

1

2

）²-a+

3

4

．
∵a≥-

1

2

時，函數f（x）在[a，+∞）上單調遞減，
從而函數f（x）在[a，+∞）上的最小值為f（a）=a²+1．
綜上所述，當-

1

2

≤a≤

1

2

時，f（x）的最小值為a²+1．

點評：題考查了學生分類討論的思想，還考查了絕對值函數的對絕對值的討論及二次函數在定義域下求最值．