Question

如圖，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AAB=AC=AE=2，，P是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）取AB的中點(diǎn)F，連接PF，EF．利用三角形的中位線(xiàn)定理可得．再利用已知條件和平行四邊形的判定定理可得四邊形EFPD是平行四邊形，可得PD∥EF．利用線(xiàn)面平行的判定定理即可得出；
（II）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．
解答：（I）證明：取AB的中點(diǎn)F，連接PF，EF．
又∵P是BC的中點(diǎn)，∴．
∵，ED∥AC，
∴，
∴四邊形EFPD是平行四邊形，
∴PD∥EF．
而EF?平面EAB，PD?平面EAB，
∴PD∥平面EAB．
（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．
以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB為x軸，AC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則z軸在平面EACD內(nèi)．則A（0，0，），B（2，0，0），，．
∴，．
設(shè)平面EBD的法向量，由，得，
取z=2，則，y=0．∴．
可取作為平面ABC的一個(gè)法向量，
∴===．
即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線(xiàn)定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線(xiàn)面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角等是解題的關(guān)鍵．