Question

某種海洋生物身體的長度（單位：米）與生長年限t（單位：年）

滿足如下的函數(shù)關(guān)系：.（設(shè)該生物出生時t=0）

（1）需經(jīng)過多少時間，該生物的身長超過8米；

（2）設(shè)出生后第年，該生物長得最快，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）6年；（2）4或5．

【解析】

試題分析：（1）求需經(jīng)過多少時間，該生物的身長超過8米，實質(zhì)就是解不等式，不等式解集中的最小值就是本題結(jié)論；（2）首先要搞懂什么是“長得最快”，“長得最快”就是說明這一年該生物身體增長的長度最大，因此實質(zhì)就是求的最大值，即就是這個最大值，下面我們只要求出，分析它的最大值是在為何值時取得，

，此式較繁，因此我們用換元法，設(shè)，由有

，它的最大值求法一般是分子分母同時除以，然后用基本不等式及不等式的性質(zhì)得到結(jié)論．

試題解析：（1）設(shè)，即，解得，

即該生物6年后身長可超過8米；              5分

（2）設(shè)第年生長最快，于是有

，    8分

令，則，

令，    11分

等號當(dāng)且僅當(dāng)即，，時成立，因為，因此可能值為4或5，由知，所求有年份為第4年和第5年，兩年內(nèi)各生長了米．   14分

考點：（1）解不等式；（2）換元法與函數(shù)的最值．