Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a, a_n+1=ca_n+1-c, N*,其中a,c為實(shí)數(shù)，且c 0.

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)N*，求數(shù)列｛b_n｝的前n項(xiàng)和S_n;

（Ⅲ）若0＜a_n＜1對(duì)任意N*成立，證明0＜c1.

Answer 1

解：（Ⅰ）方法一：

∵

∴當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列。

∴

即，

當(dāng)時(shí)，仍滿足上式，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為。

方法二：

時(shí)，，

∴

時(shí)，也滿足上式

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴

∴

∴

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知

若

則

∵，∴

由對(duì)任意成立，知

下證，用反證法。

方法一：假設(shè)，由函數(shù)的函數(shù)圖像知，當(dāng)趨于無窮大時(shí)，趨于無窮大。

∴不能對(duì)恒成立，導(dǎo)致矛盾。

∴，∴。

方法二：

假設(shè)，∵，∴

即恒成立（*）

∵為常數(shù)，∴（*）對(duì)不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，∴

∴。