Question

1．若函數(shù)$f（x）=3+\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}+sin2x$在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，則m+n等于（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 由已知函數(shù)解析式可得f（x）+f（-x）=6，結合f（x）在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，即無論k取什么樣的正實數(shù)都應有最大值與最小值的和是一個確定的值，令k=1得答案．

解答 解：∵$f（x）=3+\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}+sin2x$，
∴f（-x）=3+$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}+sin（-2x）$=3-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}-sin2x$，
∴f（x）+f（-x）=6．①
又f（x）在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上的值域為[m，n]，
即無論k取什么樣的正實數(shù)都應有最大值與最小值的和是一個確定的值，
故可令k=1，由于函數(shù)$f（x）=3+\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}+sin2x$在區(qū)間[-k，k]（k＞0）上是一個增函數(shù)，
故m+n=f（k）+f（-k）
由①知，m+n=f（k）+f（-k）=6．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的值域，考查函數(shù)的奇偶性與單調性的性質，屬中檔題．