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已知點(diǎn)為圓：上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B(-1,0)，線段的垂直平分線和線段相交于點(diǎn)M.

（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（2）已知點(diǎn)為曲線E上任意一點(diǎn)，求證：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：

（1）連結(jié)MB，,

故，而                             -------------------------4分

點(diǎn)M的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓

點(diǎn)M的軌跡E的方程為                          ------------------------8分

（2）證明：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為

所以，即            ----------------------10分

，

                                     -------------------------14分

因?yàn)樯鲜綄?duì)任意成立，故

所以對(duì)稱點(diǎn)為定點(diǎn).                                 -------------------------16分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知點(diǎn)P是圓M：x2+（y+m）2=8（m＞0，m≠
2
）上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（0，m）是圓M所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，線段NP的垂直平分線l與直線MP相交于點(diǎn)Q．
（Ⅰ）當(dāng)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為曲線Γ，判斷曲線Γ為何種曲線，并求出它的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)原點(diǎn)斜率為k的直線交曲線Γ于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，且它在y軸上的射影為點(diǎn)C，直線BC交曲線Γ于另一點(diǎn)D，記直線AD的斜率為k′．是否存在m，使得對(duì)任意的k＞0，都有|k•k′|=1？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•牡丹江一模）已知雙曲線E：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓和直線x-y+
6
=0相切．
（Ⅰ） 求雙曲線E的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)F為雙曲線E的左焦點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任意作一條直線l交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)，使
FP
•
FQ
為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•寶山區(qū)一模）已知半徑為R的球的球面上有三個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于
πR
3
，且經(jīng)過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的小圓周長(zhǎng)為4π，則R=
2
3
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)閱記分）
（A）（幾何證明選做題）已知PA是圓D的切線，切點(diǎn)為A，PA=2，AC是圓D的直徑，PC與圓D交于點(diǎn)B，PB=1，則圓O的半徑r=
3
3
．
（B）（極坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，曲線p=4cos（θ-
π
3
）上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為
4
4
．
（C）（不等式選做題）若不等式|x-2|+|x+1|≥α對(duì)于任意x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為
{α|α≤3}
{α|α≤3}
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

【解析】第一問(wèn)中設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問(wèn)中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．

然后設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個(gè)公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當(dāng)時(shí)，（＊）對(duì)任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

 

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