Question

（08年天津卷文）（本小題滿分12分）

在數(shù)列中，，，且（）．

（Ⅰ）設(shè)（），證明是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．

Answer 1

本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力和推理論證能力及分類討論的思想方法．滿分12分．

（Ⅰ）證明：由題設(shè)（），得

，即，．

又，，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．

（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

　　　　　　　　，

　　　　　　　　，

　　　　　　　　……

　　　　　　　　，（）．

將以上各式相加，得（）．

所以當(dāng)時(shí)，

上式對(duì)顯然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故．

由可得，由得，　①

整理得，解得或（舍去）．于是．

另一方面，，

　　　　　．

由①可得，．

所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．