Question

有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為v立方米，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都為r立方米．現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合．用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱其為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)．已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)＝＋[g(0)－](p≥0)，其中g(shù)(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)．

(1)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)；

(2)求證：當(dāng)g(0)＜時(shí)，湖泊的污染程度將越來(lái)越嚴(yán)重；

(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少天才能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5%．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　設(shè)0≤t1＜t2，∵g(t)為常數(shù)，∴g(t1)＝g(t2)， 　　即[g(0)－]·[－]＝0， 　　∵－≠0 　　∴g(0)＝． 　　(2)設(shè)0＜t1＜t2，則g(t1)－g(t2)＝[g(0)－]·[－]＝[g(0)－]·． 　　∵g(0)－＜0，t1＜t2，∴g(t1)＜g(t2)． 　　故湖泊污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加，污染越來(lái)越嚴(yán)重． 　　(3)污染源停止，即p＝0，此時(shí)g(t)＝g(0)·． 　　設(shè)要經(jīng)過(guò)t天能使湖水的污染水平下降到開(kāi)始時(shí)污染水平的5％，即g(t)＝5％·g(0)， 　　則有5％·g(0)＝g(0)·． 　　由實(shí)際意義知g(0)≠0，∴＝． 　　∴t＝ln20(天)，即需要ln20天時(shí)間．