Question

13．已知a∈R，函數(shù)f（x）=$\sqrt{2x+4}$+3a和g（x）=$\sqrt{x+3}$+2a²的圖象有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）
• B． （-$\frac{1}{2}$，0]∪[1，+∞）
• C． [$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 由題意可得方程 $\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$=2a²-3a 有解，故 x≥-2．令y=$\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$，利用用導(dǎo)數(shù)求出y的最小值為-1，可得 2a²-3a≥-1，由此求得a的范圍．

解答 解：由題意可得方程 $\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$=2a²-3a 有解，∴x≥-2．
令y=$\sqrt{2x+4}$-$\sqrt{x+3}$，則y′=$\frac{1}{\sqrt{2x+4}}$-$\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$ 在（-2，+∞）上大于零，故函數(shù)y在[-2，+∞）上為增函數(shù)，
故當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-1，
∴2a²-3a≥-1，求得a≥1 或a≤$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．