Question

6．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a}$-$\frac{y^2}{4}$=1（a＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{13}}{3}$，右焦點為F，點F在漸近線上的射影為M，O為坐標(biāo)原點，則$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{MF}$=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 運用離心率公式解方程可得a=9，求得雙曲線方程及漸近線方程，運用向量數(shù)量積的定義，可得$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{MF}$=|$\overrightarrow{OF}$|•|$\overrightarrow{MF}$|•cos∠OFM，運用F到漸近線的距離，即可得到所求值．

解答 解：由題意可得e=$\frac{\sqrt{a+4}}{\sqrt{a}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
可得a=9，雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，焦點F（$\sqrt{13}$，0），
則$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{MF}$=|$\overrightarrow{OF}$|•|$\overrightarrow{MF}$|•cos∠OFM=|$\overrightarrow{MF}$|²，
由F到漸近線y=-$\frac{2}{3}$x的距離為|MF|=$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{4+9}}$=2，
則$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{MF}$=4．
故選D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，同時考查向量的數(shù)量積的定義和計算，考查運算能力，屬于中檔題．