Question

1．定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）＞1-f′（x），f（0）=4，則不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1（其中e為自然對數的底數）的解集為（　　）

• A． （3，+∞）
• B． （-∞，0）∪（3，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，0）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調性，不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1轉化為e^xf（x）＞e^x+3，結合原函數的性質和函數值，即可求解．

解答 解：設g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調遞增，
不等式$\frac{{{e^x}f（x）}}{{{e^x}+3}}$＞1轉化為e^xf（x）＞e^x+3，
∴g（x）＞3，
又∵g（0）═e⁰f（0）-e⁰=4-1=3，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0
故選：C

點評 本題考查函數單調性與奇偶性的結合，結合已知條件構造函數，然后用導數判斷函數的單調性是解題的關鍵．