Question

【題目】設(shè)，為三維空間中個點(diǎn)組成的有限集，其中任意四點(diǎn)不在一個平面上，將集合中的點(diǎn)染成白色或黑色，使得任意一個與集合至少交于四個點(diǎn)的球面具有這樣的性質(zhì)：這些交點(diǎn)中恰有一半的點(diǎn)為白色的.證明：集合中所有的點(diǎn)均在一個球面上，

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

定義：為

由已知條件，知，其中，表示至少經(jīng)過集合的四個點(diǎn)的任一球面.

對于集合中任意的三個不同的點(diǎn)、、，

用表示經(jīng)過點(diǎn)、、且還至少經(jīng)過集合中的另一個點(diǎn)的所有球面組成的集合，表示這些球面的個數(shù).

故.①

這是因為、、的值出現(xiàn)次，而其他的值只出現(xiàn)一次.

若存在三個點(diǎn)使得，則結(jié)論得證.

若對集合M中任意的三個不同的點(diǎn)、、，，先證明.

假設(shè).則由式①知，所有的的組合共有種.

對所有的這些可能求和有，這與假設(shè)矛盾.

同理，若，也會推出矛盾.

接下來，由及式①，得出對集合中任意的三個不同的點(diǎn)、、，有.

取另一個點(diǎn)，得到下列等式：

，，

，.

由此，容易推出，這與的定義矛盾.