Question

5．在銳角△ABC中，已知$∠B=\frac{π}{3}，|{\overrightarrow{BC}}|=2$，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的取值范圍是（0，12）．

Answer 1

分析 以B為原點，BA所在直線為x軸建立坐標系，得到C的坐標，找出三角形為銳角三角形的A的位置，得到所求范圍

解答 解：以B為原點，BA所在直線為x軸建立坐標系，
因為∠B=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{BC}$|=2，所以C（1，$\sqrt{3}$），設A（x，0）
因為△ABC是銳角三角形，所以A+C=120°，
∴30°＜A＜90°，即A在如圖的線段DE上（不與D，E重合），所以1＜x＜4，
則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，所以則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的范圍為（0，12）．
故答案為：（0，12）．

點評 本題考查了向量的幾何意義以及利用坐標法求數(shù)量積范圍，屬于中檔題．