Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，，滿足，.
(1)求，的值；
(2)若各項為正的數(shù)列的前項和為，且有，設(shè)，求數(shù)列的前項和；
(3)在(2)的條件下，證明：.

Answer 1

(1)，
(2)
(3)通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的思想來分析函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到證明。

解析試題分析：解：(1)由 ，
由代入可得，且.……………………………………………………2分
當(dāng)時，（成立），當(dāng)時，（舍去）.
所以，.…………………………………………………………………………4分
(2)，即.
時， .
所以，當(dāng)時，由可得，
整理得，.
又得，且，
所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即，.
. ………………………………………………………………………………7分
，
，
由上兩式相減得 .
. ……………………………………………………………………10分
(3)由(2)知，只需證.設(shè)(且).
則，
可知在上是遞減，.
由，則，
故. …………………………………………………………………………14分
考點：數(shù)列的通項公式與前n項和的運用。
點評：解決數(shù)列與函數(shù)與不等式的綜合試題，是高考中常考的知識交匯點試題，熟練掌握錯位相減法求和，屬于中檔題。