Question

如圖，ABCD為空間四邊形，點(diǎn)E，F分別是AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G，H分別在CD，AD上，且，．求證：直線EH，FG必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線BD上．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如圖所示，因?yàn)辄c(diǎn)E，F分別是AB，BC的中點(diǎn)，從而可以得到EF∥AC．同理，因?yàn)辄c(diǎn)G，H分別在CD，AD上，且， 從而GH∥AC，故EF∥GH，從而直線EH，FG在同一平面上，又顯然EH，FG不平行，故它們必交于一點(diǎn)． 設(shè)直線EH與BD直交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作平行于直線AB的輔助線DI，交EO于點(diǎn)I．從而可以得到△AEH∽△DIH，又EA=EB，從而有BE∥DI且BE=2DI，故得DO=BD．同樣，設(shè)直線FG與BD相交于點(diǎn)，這點(diǎn)D作平行于直線BC的輔助線DJ，交FO于點(diǎn)J，利用相似三角形的性質(zhì)也可以得到=BD，從而DO=，即點(diǎn)O與點(diǎn)重合，故直線EH，BD，FG相交于同一點(diǎn)O．