Question

13．已知函數f（x）=log₉（9^x+1）+kx（k∈R）是偶函數．
（1）求k的值；
（2）若函數y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+b沒有交點，求b的取值范圍；
（3）設h（x）=f（x）-log₉（a•3^x-$\frac{4}{3}$a），若函數h（x）有且只有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）因為f（x）為偶函數所以f（-x）=f（x）代入求得k的值即可；
（2）函數與直線沒有交點即log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b無解，即方程log₉（9^x+1）-x=b無解．令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數y=g（x）的圖象與直線y=b無交點．推出g（x）為減函數得到g（x）＞0，所以讓b≤0就無解．
（3）函數f（x）與h（x）的圖象有且只有一個公共點，即聯立兩個函數解析式得到方程，方程只有一個解即可

解答 解：（1）因為y=f（x）為偶函數，
所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx對于?x∈R恒成立．
即2kx=log₉（9^-x+1）-log₉（9^x+1）=log₉（$\frac{{9}^{-x}+1}{{9}^{x}+1}$）=log₉（9^-x）=-x恒成立，
即（2k+1）x=0恒成立，
而x不恒為零，所以k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由題意知方程log₉（9^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b即方程log₉（9^x+1）-x=b無解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數y=g（x）的圖象與直線y=b無交點．
因為g（x）=log₉（$\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$）=log₉（1+$\frac{1}{{9}^{x}}$）
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則0＜9^x₁＜9^x₂，從而$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$＞$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$．
于是log₉（1+$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$）＞log9（1+$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$），即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是單調減函數．
因為1+$\frac{1}{{9}^{x}}$＞1，所以g（x）=log₉（1+$\frac{1}{{9}^{x}}$）＞0．所以b的取值范圍是（-∞，0]．
（3）由函數h（x）有且只有一個零點，
則方程3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$=a•3^x-$\frac{4}{3}$a有且只有一個實數根．
令3^x=t＞0，則關于t的方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0（記為（*））有且只有一個正根．
若a=1，則t=-$\frac{3}{4}$，不合，舍去；
若a≠1，則方程（*）的兩根異號或有兩相等正根．
由△=0⇒a=$\frac{3}{4}$或-3；
但a=$\frac{3}{4}$⇒t=-$\frac{1}{2}$，不合，舍去；
而a=-3⇒t=$\frac{1}{2}$；
方程（*）的兩根異號?（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．
綜上所述，實數a的取值范圍{-3}∪（1，+∞）．

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，熟練掌握對數函數的圖象和性質，是解答的關鍵．