Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，若△AOB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，則$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow$=（x，y），由△AOB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，求出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，再利用|$\overrightarrow{AB}$|=|2$\overrightarrow$|=2，得到$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，由此列出方程組能求出$\overrightarrow$．

解答 解：設$\overrightarrow$=（x，y），
∵△AOB是以O為直角頂點的等腰直角三角形，
∴|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$|=|2$\overrightarrow$|=2，
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$）或$\overrightarrow=（-\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}$）．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查向量的求法，是基礎題，熟練掌握向量的運算法則和數量積運算是解題的關鍵．