Question

【題目】已知表示不小于的最小整數(shù)，例如.

（1）設(shè),,若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)，在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>，集合中元素的個(gè)數(shù)為，求證：；

（3）設(shè)（），，若對(duì)于，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到的取值集合為，根據(jù)題意計(jì)算得到答案.

（2）當(dāng)時(shí)，，得到在上函數(shù)值的個(gè)數(shù)為個(gè)，計(jì)算得到，再計(jì)算極限得到證明.

（3）計(jì)算得到，并且當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，恒成立，討論和兩種情況，分別計(jì)算得到答案.

（1）因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以

進(jìn)而的取值集合為

由已知可知在上有解，因此

（2）當(dāng)時(shí)，，

所以的取值范圍為區(qū)間

進(jìn)而在上函數(shù)值的個(gè)數(shù)為個(gè)，

由于區(qū)間與沒有共同的元素，

所以中元素個(gè)數(shù)為，得

因此，

（3）由于，

所以，并且當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

進(jìn)而時(shí)，

由題意對(duì)任意，恒成立.

當(dāng)，恒成立，因?yàn)?/span>，所以

當(dāng)，恒成立，因?yàn)?/span>，所以

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.