Question

4．已知$f（x）=sin（{x-\frac{3}{2}π}）•sin（{\frac{5}{2}π+x}）+cos（{\frac{3}{2}π-x}）+a（{a∈R}）$
（Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若a=1，求f（x）的值域；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=cos²x-sinx+a；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（Ⅲ）方程f（x）=0有解等價(jià)于$a={（{sinx+\frac{1}{2}}）^2}-\frac{5}{4}$，由二次函數(shù)區(qū)間的值域可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得
f（x）=cosx•cosx-sinx+a
=cos²x-sinx+a；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=cos²x-sinx+1
=-sin²x-sinx+2=-（sinx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
由二次函數(shù)知識可得f（x）的值域?yàn)閇0，$\frac{9}{4}$]；
（Ⅲ）方程f（x）=0有解等價(jià)于$a={（{sinx+\frac{1}{2}}）^2}-\frac{5}{4}$，
∴a的取值范圍$[{-\frac{5}{4}，\;\;1}]$

點(diǎn)評 本題考查和差角的三角函數(shù)，涉及二次函數(shù)區(qū)間的值域，屬中檔題．