Question

（本小題滿(mǎn)分14分)如圖，橢圓：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，離心率．過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為．

∴∴∵，∴,∴

∴橢圓的方程為                                           ……4分

（Ⅱ）由，消元可得:        ……5分

∵動(dòng)直線：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴∴∴,      

此時(shí)即,

由得                                    　　　……8分

取，此時(shí)，

以為直徑的圓為，交軸于點(diǎn),

取，此時(shí)，

以為直徑的圓為交軸于點(diǎn)或,

故若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)存在，即，                                 ……1２分

證明如下

∵，

∴

故以為直徑的圓恒過(guò)軸上的定點(diǎn).                           ……1４分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系以及與圓結(jié)合的綜合問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力和計(jì)算能力.

點(diǎn)評(píng)：遇到直線與橢圓的位置關(guān)系的題目，往往免不了要把直線方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答，有時(shí)也和向量結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，運(yùn)算量比較大，難度中等偏上，但是是高考中常考的題目，必須加以重視.