Question

已知雙曲線：的右焦點為，在的兩條漸近線上的射影分別為、，是坐標原點，且四邊形是邊長為的正方形．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）過的直線交于、兩點，線段的中點為，問是否能成立？若成立，求直線的方程；若不成立，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依題意知的兩條漸近線相互垂直，且點到任一條漸近線的距離為，

故雙曲線的方程為．                            
（Ⅱ）這樣的直線不存在，證明如下：                      
當直線的斜率不存在時，結論不成立                       
當直線斜率存在時，設其方程為，并設、
由知                             

則                                         
故
這不可能
綜上可知，不存在這樣的直線．              

略