Question

3．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，n∈N^*，①求a₂，a₃，a₄并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，②試證明你的猜想．

Answer 1

分析 ①利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前4項(xiàng)，然后猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式．
②利用遞推關(guān)系式判斷新數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是以1為首項(xiàng)，公差d=1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可．

解答 解：①∵a₁=1，且${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，n∈N^*，∴${a}_{2}=\frac{{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$；${a}_{3}=\frac{{a}_{2}}{1+{a}_{2}}$=$\frac{1}{3}$，同理
得：${a}_{4}=\frac{{a}_{3}}{1+{a}_{3}}=\frac{1}{4}$，觀察可得，數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)，
由此猜想：${a}_{n}=\frac{1}{n}$，n∈N^*，------（6分）
②證明如下：∵${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}+1$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=1$，∈N^*，
∴$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是以$\frac{1}{{a}_{1}}=1$為首項(xiàng)，公差d=1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，∴a_n=$\frac{1}{n}$，∈N^*．------（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．