Question

17．對于函數(shù)y=lg（kx²+kx+1），
（1）若其定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若其值域為R，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由定義域為R得kx²+kx+1＞0恒成立，然后根據(jù)k的取值討論即可；
（2）由值域為R得（0，+∞）⊆{y|y=kx²+kx+1}，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題解決．

解答 解：（1）∵y=lg（kx²+kx+1）定義域為R，
∴kx²+kx+1＞0恒成立．
令g（x）=kx²+kx+1，
①當(dāng)k=0時，g（x）=1符合題意；
②當(dāng)k＜0時，g（x）為開口向下的二次函數(shù)，顯然不符合題意；
③當(dāng)k＞0時，g（x）為開口向上的二次函數(shù)，g_min（x）=$\frac{4k-{k}^{2}}{4k}$=1-$\frac{k}{4}$，令1-$\frac{k}{4}$＞0得0＜k＜4．
綜上所述：k的取值范圍是[0，4）．
（2））設(shè)g（x）=kx²+kx+1值域為A．
∵y=lg（kx²+kx+1）值域為R，
∴（0，+∞）⊆A．
∴g（x）為開口向上的二次函數(shù)，且g_min（x）≤0，
∴△=k²-4k≥0，解得k≤0，或k≥4．
∴k的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，值域，二次不等式的解法和分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．