Question

某汽車駕駛學(xué)校在學(xué)員結(jié)業(yè)前，對(duì)學(xué)員的駕駛技術(shù)進(jìn)行4次考核，規(guī)定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需參加下次考核．若學(xué)員小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，他參加第一次考核合格的概率不超過，且他直到第二次考核才合格的概率為．
（1）求小李第一次參加考核就合格的概率P₁；
（2）求小李參加考核的次數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（1）小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，
且他直到第二次考核才合格的概率為．
得（1-p₁）（p₁+）=，
解得p₁=或p₁=．
∵p₁≤，∴p₁=，
即小李第一次參加考核就合格的概率為
（2）由（1）的結(jié)論知，ξ的可能取值是1，2，3，4
小李四次考核每次合格的概率依次為，，，，
∴P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，
P（ξ=3）=（1-）（1-）=
P（ξ=4）=（1-）•（1-）•（1-）•1=
∴小李參加測(cè)試的次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為Eξ=1•+2•+3•+4•=
分析：（1）小李獨(dú)立參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，寫出概率的關(guān)系式，列出方程，得到結(jié)果．
（2）小李參加考核的次數(shù)ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次為，，，，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到分布列和期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，是一個(gè)綜合題目．