Question

在直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段，為垂足．

(1)求線段中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)Q(－2，0)作直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)N是過(guò)點(diǎn)(－，0)，且以為方向向量的直線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)M(x，y)是所求曲線上的任意一點(diǎn)，P(x1，y1)是方程x2＋y2＝4的圓上的任意一點(diǎn)，則 　　則有：得， 　　軌跡C的方程為 　　(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，與橢圓無(wú)交點(diǎn)． 　　所以設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，與橢圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，N點(diǎn)所在直線方程為 　　由 　　由△＝ 　　即　 　　，∴四邊形OANB為平行四邊形 　　假設(shè)存在矩形OANB，則，即， 　　即， 　　于是有　得 　　設(shè)， 　　即點(diǎn)N在直線上． 　　∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為