Question

【題目】已知函數(shù)，其中，是非空數(shù)集且.設(shè)，.

（1）若，，求；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得，且？若存在，求出所有滿足條件的；若不存在，說明理由；

（3）若且，，單調(diào)遞增，求集合，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，3；（3），，其中或，，其中或，，或，

【解析】

（1）依題意分別表示時的值域，結(jié)合的圖像和性質(zhì)和二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)分別求出此分段函數(shù)兩支上的值域，即可得出結(jié)論；

（2）抓住線索，逐層深入，先判斷，得的范圍，再由已知推理縮小此范圍，最后確定的值；

（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，再證明在上存在分界點(diǎn)的話，這個分界點(diǎn)應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)，最后根據(jù)此性質(zhì)寫出滿足題意的集合.

（1），

，

；

（2）若則，不合題意，

從而，

，得.

若，則，

的原象且，

，矛盾.

，此時可取，滿足題意.

（3）是單調(diào)遞增函數(shù)，對任意，

，同理可得：.

若存在，使得則，

于是，記，

，同理可知，由，

得，

，

對于任意，取

中的自然數(shù)，則

綜上所述，滿足條件的必有如下表示：

，其中，

或，其中，

或，或.