Question

在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，，BC=CA=AA₁=a，A₁在底面的射影O恰為AC的中點(diǎn)，求：

(1) AB與側(cè)面AC₁所成的角；

(2) 側(cè)面AA₁B₁B和側(cè)面CC₁A₁A所成的角；

(3) 三棱柱的側(cè)面積和體積．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1) AO⊥底面ABC，∴ 側(cè)面AC1⊥底面ABC． ∵ ，AC=BC=a， ∴ ∠ACB=90°，BC⊥AC． ∴ BC⊥平面AC1． AC是AB在側(cè)面AC1的射影，∠BAC是AB與側(cè)面AC1所成的角．∠BAC=45°， ∴ AB與側(cè)面AC1所成的角為45°． (2) 在側(cè)面AC1中作CE⊥A1A，E是垂足，連BE． ∵ BC⊥平面AC1， ∴ EC是EB在平面AC1的射影． 由三垂線定理得EB⊥AA1． ∴ ∠BEC是側(cè)面AA1B1B和側(cè)面CC1A1A所成的二面角的平面角． 在△A1AO中，AA1=AC=a，O是AC中點(diǎn)， ∴ △A1AO=60°． 在Rt△ACE中， ． 在Rt△BCE中，BC=a ， 即二面角B－AA1－C為． (3) 解法1：△BEC是三棱柱ABC－A1B1C1的直截面． ，BC=a， 直截面周長(zhǎng) ， ． 直截面面積 ， 體積． 解法2：∵ BC⊥平面AC1，∴ BC⊥CC1 ∴ 四邊形B1BCC1是矩形，面積S1=a2， 又平行四邊形A1ACC1的面積， 平行四邊形A1ABB1的面積． 則三棱柱的側(cè)面積 ． 底面△ABC的面積，高， 則三棱柱的體積．