Question

小輝是一位收藏愛好者，在第1年初購(gòu)買了價(jià)值為20萬(wàn)元的收藏品M，由于受到收藏品市場(chǎng)行情的影響，第2年、第3年的每年初M的價(jià)值為上年初的

1

2

；從第4年開始，每年初M的價(jià)值比上年初增加4萬(wàn)元．
（Ⅰ）求第幾年初開始M的價(jià)值超過原購(gòu)買的價(jià)值；
（Ⅱ）記T_n（n∈N^*）表示收藏品M前n年的價(jià)值的平均值，求T_n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，寫成通項(xiàng)公式，計(jì)算即可；
（Ⅱ）分1≤n≤3及n≥4兩種情況分析即可．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)第n年初M的價(jià)值為a_n，
依題意，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為20，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
所以an=20×(

1

2

)n-1=5×23-n．故a₂=10，a₃=5，所以a₃＜a₂＜a₁．
當(dāng)n≥4時(shí)，數(shù)列{a_n}是以a₄為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，
又a₄=a₃+4=9，所以a_n=9+（n-4）×4=4n-7．
令a_n＞20，得n＞

27

4

，又因?yàn)閚∈N^*，所以n≥7．
因此，第7年初M開始的價(jià)值a_n超過原購(gòu)買的價(jià)值．
（Ⅱ）設(shè)S_n表示前n年初M的價(jià)值的和，則Tn=

Sn

n

由（Ⅰ）知，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，Sn=

20•(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=40-5×23-n，
Tn=

40-5×23-n

n

①；
當(dāng)n≥4時(shí)，由于S₃=35，故Sn=S3+(a4+a5+…+an)=35+

(n-3)(9+4n-7)

2

=2n2-5n+32，
Tn=

2n2-5n+32

n

=2n+

32

n

-5．②
當(dāng)1≤n≤3時(shí)，由①得，T₁=20，T₂=15，T3=

35

3

，所以T₁＞T₂＞T₃
當(dāng)n≥4時(shí)，由②知，Tn=2n+

32

n

-5 ≥ 2

2n• 32 n

-5=11，
當(dāng)且僅當(dāng)2n=

32

n

，即n=4時(shí)等號(hào)成立．即（T_n）_min=T₄=11．
由于T₃＞T₄，故在第4年初T_n的值最小，其最小值為11．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、應(yīng)用意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想．