Question

函數(shù)y=sin²x+2cosx在區(qū)間[-

2π

3

，a]上的值域為[-

1

4

，2]，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：應用同角三角函數(shù)基本關系式，函數(shù)可以化為關于cosx的解析式，令t=cosx，則原函數(shù)可化為y=-（t-1）²+2，即轉化為二次函數(shù)的最值問題，含參數(shù)的問題的求解．

解答：解：由已知得，y=1-cos²x+2cosx=-（cosx-1）²+2，令t=cosx，得到：y=-（t-1）²+2，顯然當t=cos（-

2π

3

）=-

1

2

時，y=-

1

4

，當t=1時，y=2，又由x∈[-

2π

3

，a]可知cosx∈[-

1

2

，1]，可使函數(shù)的值域為[-

1

4

，2]，所以有a≥0，且a≤

2π

3

，從而可得a的取值范圍是：0≤a≤

2π

3

．
故答案為：[0，

2π

3

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的值域問題，換元法與轉化化歸的數(shù)學思想，含參數(shù)的求解策略問題．