Question

【題目】設(shè)函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.

（1）求的最值；

（2）討論方程的根的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）最大值為，無最小值（2）答案不唯一，具體見解析

【解析】

（1）由題意有，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間可得出函數(shù)的最值.
（2）當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則,討論出函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí)，,根據(jù)函數(shù)的最值的符號(hào)情況分析其零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1），由，解得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

所以的最大值為，無最小值.

（2）令，，

（1）當(dāng)時(shí)，，則，

所以，.

因?yàn)?/span>，，所以，因此在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，，則，

所以，，因?yàn)?/span>，，又，

所以，所以，因此在上單調(diào)遞減.

綜合（1）（2）可知，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)，即時(shí)，沒有零點(diǎn)，

故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)，即時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，

故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)，即時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，由（1）知，

要使，只需使，即；

②當(dāng)時(shí)，由（1）知；

要使，只需使，即；所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn),

故關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)為2.