Question

14．如圖所示，已知⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過點A作⊙O₁的切線交⊙O₂于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O₁、⊙O₂于點D、E，DE與AC相交于點P．
（1）求證：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切線，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接AB，根據(jù)弦切角等于所夾弧所對的圓周角得到∠BAC=∠D，又根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到∠BAC=∠E，等量代換得到∠D=∠E，根據(jù)內錯角相等得到兩直線平行即可；
（2）根據(jù)切割線定理得到PA²=PB•PD，求出PB的長，然后再根據(jù)相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根據(jù)切割線定理得AD²=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．

解答 （1）證明：連接AB，
∵AC是⊙O₁的切線，
∴∠BAC=∠D．
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E．
∴AD∥EC．
（2）解：如圖，
∵PA是⊙O₁的切線，PD是⊙O₁的割線，
∴PA²=PB•PD，
PA=AC-PC=6，
即6²=PB•（PB+9），
∴PB=3．
在⊙O₂中，PA•PC=BP•PE．
∴PE=4．
∵AD是⊙O₂的切線，DE是⊙O₂的割線，
且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，
∴AD²=DB•DE=9×16，∴AD=12．

點評 此題是一道綜合題，要求學生靈活運用直線與圓相切和相交時的性質解決實際問題．本題的突破點是輔助線的連接．