Question

已知函數(shù).

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對定義域每的任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：對于任意正整數(shù)，不等式恒成立。

 

Answer 1

【答案】

 

. 。

（Ⅰ）當(dāng)時，若，則，若，則，故此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時，的變化情況如下表：

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時，同可得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。

（Ⅱ）由于，顯然當(dāng)時，，此時對定義域每的任意不是恒成立的，

當(dāng)時，根據(jù)（1），函數(shù)在區(qū)間的極小值、也是最小值即是，此時只要即可，解得，故得實(shí)數(shù)的取值范圍是。

（Ⅲ）當(dāng)時，，等號當(dāng)且僅當(dāng)成立，這個不等式即，當(dāng)時，可以變換為，

在上面不等式中分別令，

所以 

【解析】略