Question

若{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）均在函數(shù)y=

3

2

x²-

1

2

x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）設(shè)b_n=

3

anan+1

，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜

m

20

對所有n∈N⁺都成立的最小整數(shù)m．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由點（n，S_n）均在函數(shù)y=

3

2

x²-

1

2

x的圖象上，得S_n=

3

2

n²-

1

2

n，由a_n=S_n-S_n-1可得通項公式，須驗證n=1時，a_n也成立．
（2）由（1）知，b_n=

3

anan+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

，再求和，使T_n＜

m

20

成立的m，必須且僅須滿足1≤

m

20

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）依題意，點（n，S_n）均在函數(shù)y=

3

2

x²-

1

2

x的圖象上，得S_n=

3

2

n²-

1

2

n，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（

3

2

n²-

1

2

n）-[

3

2

（n-1）²-

1

2

（n-1）]=3n-2 ①；
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1，適合①式，所以a_n=3n-2（n∈N^*）
（2）由（1）知，b_n=

3

anan+1

=

3

(3n-2)(3n+1)

=

1

3n-2

-

1

3n+1

；
故T_n=1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

3n-2

-

1

3n+1

=1-

1

3n+1

因此，使T_n＜

m

20

成立的m，必須且僅須滿足1≤

m

20

，即m≥20；
所以，滿足要求的最小正整數(shù)m為20．

點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，用裂項法求數(shù)列前n項和以及數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題．