Question

【題目】已知函數(shù)，且的解集為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對任意，都有

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

（3）已知數(shù)列，滿足，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出，和，再利用即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)，，可證明為等比數(shù)列，求得，，再根據(jù)錯位相減法即可求出結(jié)果；

（3）由題意可知，可得，易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時， ，進(jìn)而求出有的最大值為，再根據(jù)不等式恒成立可列出不等式，解不等式，即可求出結(jié)果.

（1）的解集為，∴是方程的兩根

由韋達(dá)定理知，解得，∴，得

當(dāng)時，有

當(dāng)時，有

也符合 ，∴

（2）當(dāng)時，有，即，得

當(dāng)時，有，可得，即，

∴為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，

∴，∴.

①，

① 得，②

①-②得

∴

（3）由題意可知，

則

∴當(dāng)時，，即

當(dāng)時，，即，

當(dāng)時，，即，故有的最大值為

由于對任意恒成立

則應(yīng)有，或

綜上：的取值范圍是：或.