Question

16．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=4：5：7，點M為BC的中點，AM=$\sqrt{11}$，則AC=$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化簡后設(shè)a=4k、b=5k、c=7k（k＞0），由余弦定理求出cosB的值，根據(jù)中線AM和余弦定理列出方程，求出k的值即可求出AC．

解答 解：∵sinA：sinB：sinC=4：5：7，
∴由正弦定理得，a：b：c=4：5：7，不妨設(shè)a=4k、b=5k、c=7k（k＞0），
由余弦定理得，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{16k}^{2}+49{k}^{2}-25{k}^{2}}{2×4k×7k}$=$\frac{5}{7}$，
∵點M為BC的中點，AM=$\sqrt{11}$，
∴由余弦定理得，AM²=BA²+BM²-2BA•BM•cosB，
∴11=$49{k}^{2}+4{k}^{2}-2×7k×2k×\frac{5}{7}$，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AC=b=$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$，
故答案為：$\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，以及方程思想，屬于中檔題．