Question

在△OAB的邊OA、OB上分別有一點P、Q，已知：=1：2，：=3：2，連接AQ、BP，設它們交于點R，若=，=．
（Ⅰ）用與表示；
（Ⅱ）過R作RH⊥AB，垂足為H，若||=1，||=2，與的夾角，求的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據點P在邊OA上且：=1：2，點Q在邊OB上且：=3：2，我們易將向量和表示成，．再根據AQR三點共線，BPR三點共線，我們可以分別得到兩個關于，的分解形式，利用平面向量的基本定理，易構造關于λ，μ的方程，進而可用與表示；
（II）由||=1，||=2，與的夾角，結合（I）的結論及RH⊥AB，我們易求出的取值范圍．
解答：解：（I）由=，點P在邊OA上且：=1：2，
可得（-），
∴．同理可得．（2分）
設，
則=+-）=（1-λ）+，
=+-b）=+（1-μ）．（4分）
∵向量與不共線，
∴解得
∴+．（5分）
（II）設，則（-），
∴（-）-（+）+=+（．（6分）
∵，
∴，
即[+（]•（-）=0²+（²+•=0（8分）
又∵||=1，||=2，•=||||cosθ=2cosθ，
∴
∴．（10分）
∵，
∴，
∴5-4cosθ∈[3，7]，
∴．
故的取值范圍是．（12分）
點評：本題考查的知識點是平面向量的定理及其意義，向量的模，其中根據平面向量的基本定理，得到A，B，P三點共線時，=+（其中O為直線AB外任一點，且λ+μ=1是解答的關鍵．