Question

【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切．

（1）求的值．

（2）求證：．

（3）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義列方程組，解得結(jié)果；

（2）先化簡不等式為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，根據(jù)最大值證不等式；

（3）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，利用（2）證，最后利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性與最值，根據(jù)最值證得不等式.

（1）解：設(shè)切點(diǎn)，則即∴．

（2）證明：∵，∴等價(jià)于．

設(shè)，則．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

∴，即，∴．

（3）證明：設(shè)，．

由，得．

由（2）得，當(dāng)時(shí)， ，所以當(dāng)時(shí)，得．

當(dāng)時(shí)， ，以代換，得，有，

所以當(dāng)時(shí)，得，

∴當(dāng)時(shí)，有．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

又∵，∴當(dāng)時(shí)，，即．