Question

節(jié)能燈的質(zhì)量通過其正常使用時間來衡量，使用時間越長，表明質(zhì)量越好，且使用時間大于或等于6千小時的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用A，B兩種不同型號的節(jié)能燈做實驗，各隨機抽取部分產(chǎn)品作為樣本，得到實驗結(jié)果的頻率直方圖如圖所示：
若以上述實驗結(jié)果中使用時間落入各組的頻率作為相應的概率．
（Ⅰ）現(xiàn)從大量的A，B兩種型號節(jié)能燈中各隨機抽取兩件產(chǎn)品，求恰有兩件是優(yōu)質(zhì)品的概率；
（Ⅱ）已知A型節(jié)能燈的生產(chǎn)廠家對使用時間小于6千小時的節(jié)能燈實行“三包”．通過多年統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，A型節(jié)能燈每件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）與使用時間t（單位：千小時）的關(guān)系式如下表：

使用時間t（單位：千小時）	t＜4	4≤t＜6	t≥6
每件產(chǎn)品的利潤y（單位：元）	-20	20	40

若從大量的A型節(jié)能燈中隨機抽取2件，其利潤之和記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）分別求出從A型號節(jié)能燈中隨機抽取一件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品的概率和從B型號節(jié)能燈中隨機抽取一件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品的概率，由此能求出從A、B兩種型號節(jié)能燈中各隨機抽取兩件產(chǎn)品，恰有兩件是優(yōu)質(zhì)品的概率．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為-40，0，20，40，60，80，分別求出P（X=-40），P（X=0），P（X=20），P（X=40），P（X=60），P（X=80），由此能求出X的分布列及數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）從A型號節(jié)能燈中隨機抽取一件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品的概率P（A）=

1

2

，
從B型號節(jié)能燈中隨機抽取一件產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品的概率為P（B）=

2

5

，
∴從A、B兩種型號節(jié)能燈中各隨機抽取兩件產(chǎn)品，
恰有兩件是優(yōu)質(zhì)品的概率
P=

C

1 2

(

1

2

)(

1

2

)

×C

1 2

(

2

5

)(

3

5

)+

C

2 2

(

1

2

)2

×C

2 2

(

3

5

)2+

C

2 2

(

1

2

)2

C

2 2

(

2

5

)2=

37

100

．
（Ⅱ）由題意知X的可能取值為-40，0，20，40，60，80，
P（X=-40）=

C

2 2

(

1

10

)2=

1

100

，
P（X=0）=

C

1 2

(

1

10

)×(

2

5

)=

2

25

，
P（X=20）=

C

1 2

(

1

10

)×(

1

2

)=

1

10

，
P（X=40）=

C

2 2

(

2

5

)2=

4

25

，
P（X=60）=

C

1 2

(

2

5

)(

1

2

)=

2

5

，
P（X=80）=

C

2 2

(

1

2

)2=

1

4

，
∴X的分布列為：

X	-40	0	20	40	60	80
P	1 100	2 25	1 10	4 25	2 5	1 4

∴EX=-40×

1

100

+0×

2

25

+20×

1

10

+40×

4

25

+60×

2

5

+80×

1

4

=52．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是歷年高考的必考題型，是中檔題．