Question

已知二次函數表達式為f（x）=2x²-x，數列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

2

anan+1

，T_n是數列{b_n}的前n項和，求使得Tn＜

m

4026

對所有n∈N^*都成立的最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）由題意得，Sn=2n2-n，根據an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求得a_n；
（2）求出b_n，利用裂項相消法可求得T_n，Tn＜

m

4026

對所有n∈N^*都成立等價于T_n的最大值小于

m

4026

，根據T_n的單調性可求得最大值；

解答：解：（1）由題意得，Sn=2n2-n，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2n²-n）-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3，
當n=1時，S₁=2-1=1，即a₁=1適合上式，
故a_n=4n-3；
（2）b_n=

2

anan+1

=

2

(4n-3)(4n+1)

=

1

2

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
所以Tn=

1

2

（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

）=

1

2

(1-

1

4n+1

)，
Tn＜

m

4026

對所有n∈N^*都成立等價于T_n的最大值小于

m

4026

，
而

1

2

(1-

1

4n+1

)遞增，所以

1

2

(1-

1

4n+1

)＜

1

2

，
所以

m

4026

≥

1

2

，解得m≥2013，即最小正整數m為2013．

點評：本題考查數列與函數、不等式的綜合，考查恒成立問題，考查轉化思想，屬中檔題．