Question

已知四棱錐P-ABCD（圖1）的三視圖如圖2所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）點(diǎn)E在什么位置時(shí)，二面角D-AE-B的大小為120°？

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角

分析：（Ⅰ）求出棱錐的底面積和高，結(jié)合棱錐的體積公式，即可求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，只需要證明BD⊥平面PAC即可證明BD⊥AE
（Ⅲ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，結(jié)合二面角D-AE-B的大小為120°，即可確定E的位置．

解答： 解：（Ⅰ）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
∴VP-ABCD=

1

3

SABCD×PC=

1

3

×12×2=

2

3

．
（Ⅱ）不論點(diǎn)E在何位置，都有ED⊥AE．
證明如下：連接AC．∵PC⊥底面ABCD，且BD⊆底面ABCD，
∴BD⊥PC．又AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE⊆平面PAC，
∴不論點(diǎn)E在何位置，都有ED⊥AE．
（Ⅲ）解法1：當(dāng)點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)時(shí)，二面角D-AE-B的大小為120°．

在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F，連結(jié)EF．
∵AD=AE=1，DE=EF=

2

，AE=AE=

3

，
∴Rt△ADE≌Rt△ABE，
從而Rt△ADF≌Rt△AEF，
∴EF⊥AE．
∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角．
在Rt△ADF中，DF=

AD•DE

AE

=

1× 2

3

=

6

3

，
∴EF=

6

3

，又ED=

2

，
在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB=

DF2+EF2-BD2

2DF•EF

=-

1

2

，
∴∠DFB=120°，
即二面角D-AE-B的大小為120°．
解法2：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，

CD

，

CB

，

CP

所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），從而

DA

=(0，1，0)，

DE

=(-1，0，1)，

BA

=(1，0，0)，

BE

=(0，-1，1)．
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為：

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)，
由

n1 • DA =0 n2 • DE =0

，即

y1=0 -x1+z1=0

，取

n1

=(1，0，1)，
由

n2 • BA =0 n2 • BE =0

，即

x2=0 -y2+z2=0

，取

n2

=(0，-1，-1)，
設(shè)二面角D-AE-F的平面角為θ，則cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

-1

2 × 2

=-

1

2

，
∴θ=120°，即二面角D-AE-B的大小為120°．

點(diǎn)評：本題主要考查錐體的體積計(jì)算，線面垂直的判定，以及二面角的求法，建立坐標(biāo)系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)算量較大．